250118, VO 2st, Wintersemester 2012

Mengenlehre (reading course) Forcing

We assume knowledge of basic mathematical logic as well of basic set theory as covered by a Mengenlehre 1 course (e.g., you should know why AC and GCH hold in $L$).

We will read about forcig (from Kunen Set Theory) and some large cardinals. Very similar to the reading course of Peter Holy last year.

Die Sprache des Kurses ist Deutsch (English on demand). Schauen Sie sich Kunen I nochmals an, und dazu Reflection sowie die ergänzenden Unterlagen zu Mengenlehre 1 (Kunen Ch I + III-VI).

Workload

Inhalt

13. Einheit, 21. Jänner

12. Einheit, 14. Jänner

Nichts neues zu lesen, nur die folgenden Aufgaben (aber dafür schadet es nicht die entsprechenden Teile von zB Jech über stationary and club durchzulesen):

Elementare Eigenschaften von club

• $A$ ist im clubfilter,
• es gibt ein streng monotones, stetiges $f:\kappa\to\kappa$ dessen Bild Teilmenge von $A$ ist.
• es gibt ein streng monotones, stetiges $g:\kappa\to\kappa$ dessen Fixpunkte, d.h., $\{ \alpha:\, g(\alpha)=\alpha \}$ , Teilmenge von $A$ ist.
• es gibt ein $h:\kappa\to\kappa$ so dass $A$ Obermenge ist von $\{\alpha:\, (\forall\beta\lt\alpha)h(\beta)\lt\alpha\}$.

Ideale auf $\kappa$

• $I$ ist normal, wenn $(\forall A\notin I)(\forall f:A\to\kappa\text{ regressive})(\exists B\subseteq A)B\notin I\ \text{ and }f\restriction B\text{ constant}$.
  Zeige: $I$ ist normal gdw folgendes gilt: Sei $\mathcal F=(A_i)_{i\in\kappa}$ eine Familie von Elementen von $I$. Dann ist die diagonale Vereinigung $\nabla\mathcal F=\{\alpha:\, (\exists \beta\lt\alpha)\alpha\in A_\beta \}$ wieder in $I$.
• $I$ heißt fine, wenn $(\forall\alpha\in\kappa)\alpha\in I$.
  Zeige: Wenn $I$ fine und normal ist, dann ist $I$ $\kappa$-vollständig und enthält das nonstationary ideal.

Club und elementare Untermodelle

• Zeige: $N\cap \omega_1$ eine abzählbare Ordinalzahl.
• Zeige: $C\subseteq \omega_1$ ist im club filter gdw gilt: für jedes ces $N$ mit $C\in N$ gilt $N\cap \omega_1\in C$.
• Zeige: $S\subseteq \omega_1$ ist stationär gdw gilt: es gibt ein ces $N$ mit $S\in N$ und $N\cap \omega_1\in S$.

Ideale auf Booleschen Algebren

• Definiere was es heisst dass $I$ ein Ideal in einer Booleschen Algebra $B$ ist. Zeige: In diesem Fall ist $B/I$ ist wieder eine Boolesche Algebra.
• Sei $I$ das nonstationary ideal auf $\kappa$. Zeige: $\mathcal P(\kappa)/I$ ist $\kappa^+$-complete. (Hinweis: Für $\kappa$-complete reicht $\kappa$-completeness von $I$, um $\kappa^+$ zu bekommen verwende diagonal union.)
• Eine Boolesche Algebra $B$ is $\sigma$-complete, wenn jede abzählbare Familie ein supremum (und damit auch ein infimum) hat.
  Ein Ideal $I$ in einer Booleschen Algebra $B$ ist $\kappa$-saturated, wenn es keine Familie $\{a_i:\, i\in\kappa\}$ gibt mit $a_i\notin I$ und $a_i\wedge a_j\in I$ für alle $i\neq j$.
  Zeige: Sei $B$ $\sigma$-complete und $I$ $\sigma$-complete und $\aleph_1$-saturated, dann ist $B/I$ complete.

Messbarkeit

• Sei $B$ die Boolesche Algebra der Lebesgue messbaren Mengen (mit den üblichen Mengenoperationen, natürlich). $B$ ist $\sigma$-complete (warum?). Ist $B$ vollständig? (Warum bzw warum nicht?) Sei $I$ das Ideal der Nullmengen. $I$ ist $\aleph_1$-saturiert (warum?). Schliesse daraus: $B/I$ ist vollständig.
• Sei nun $B$ die Boolesche Algebra aller Teilmengen von $\mathbb R$.
  Wenn wir CH voraussetzen, dann können wir $I$ als ideal auf $\aleph_1$ auffassen. Zeige: $I$ ist fine und $\aleph_1$-complete (Hinweis: das sollte trivial sein). Schwieriger: Zeige: $I$ ist nicht $\aleph_1$ saturiert. (Bemerkung: Dasselbe $I$, aufgefasst als ideal in den messbaren Mengen, ist sehr wohl saturiert, siehe oben.)

11. Einheit, 7. Jänner

• Read: Kunen II, 2.7-2.20, Def von trees (und well-prunded trees) sowie 5.14
  (Bem: Vergl Kunen II 5.13)
• Read: Kunen II §6
• (Bereiten sie Übungen zu alten Einheiten vor, die noch nicht durchgenommen wurden.)
• Rechnen Sie zwei neue Aufgaben aus Kunen II

10. Einheit, 17. Dezember

• Zeige (nach Möglichkeit "händisch"): Die endlichen partiellen Funktionen von $\omega$ nach $\omega_1$ sind nicht proper. Zeige dasselbe als Folgerung eines bekannten Satzes.
• Zeige (nach Möglichkeit "händisch"): Die abzählbaren partiellen Funktionen von $\omega_1$ nach $\omega_2$ sind proper. Zeige dasselbe als Folgerung eines bekannten Satzes. (Bem: Satz über $\sigma$-complete Forcings; die händische Version ist einfach der Beweis des Satzes.)
• Zeige (nicht händisch, sondern als einfache Folgerung bekanntes Sätze): Wenn $P$ $\aleph_2$-cc und proper ist, dann erhät $P$ alle Kardinalitäten und Kofinalitäten.

9. Einheit, 10. Dezember

• Lesen Sie Goldsterns Tools 3 und 4.
• Typos:
  • Fact 3.2: $p\ge q$ statt $p\le q$
  • p 321, Proof (4)$\rightarrow$(5): there is NO propoer subset. Der Beweis scheint nicht ganz korrekt ($D_4$ ist nur maximal unter $q$), Übung: Beweis korrigieren.
  • Example 3.12: $1_P$ statt $1_Q$.
• Übungsaufgaben:
  • 1. Zeige dass bei Example 3.12 (Goldstern) auch die Umkehrung gilt: $P$ is ccc iff every condition is generic for any model.
  • 2. Sei $\mathbb C$ Cohen forcing, d.h. die endlichen partiellen Funktionen von $\omega$ nach $2.$
    Zeige: jede andere atomlose abzählbare partielle Ordnung $P$ ist forcing äquivalent zu $\mathbb C$. Das ist Kunen VII (C4), siehe Hinweis dort.
  • 3. Sei $G$ ein $\mathbb C$-generischer filter über $M$. Definiere $c$ als Vereinigung von $G$, d.h., $c:\omega\to 2$ ist eine generische Funktion. Zeige: $G$ ist durch $c$ bestimmt (d.h., man kann auf absolute Weise $G$ aus $c$ konstruieren, bzw jedes crm $N$ das $M$ und $c$ enthält enthält auch $G$). Bemerkung: $c$ heißt Cohen real und ist dadurch charakterisiert dass es in keiner mageren Borel Menge liegt deren Borelcode in $M$ liegt.
  • 4. Zeige: Jede (nichttriviale) CS-iteration fügt an allen limespunkten der cofinalität $\omega$ ein Cohen real dazu (äquivalent: einen $\mathbb C$-generischen filter über dem Grundmodell).
  • 5. Finden Sie ein Beispiel für inkompatible $p,q\in P_\omega$ so dass $p\restriction n$ unf $q$ kompatibel sind für alle $n$. (Vergleiche das mit Fact 1.7(2) und Fact 1.17.)

8. Einheit, 3. Dezember

• Lesen Sie Kunens Einführung zu Kapitel VIII (Seiten 251-252)
• Lesen Sie Abschnitte 1 und 2 (d.h., seiten 314-320), sowie aus Abschnitt 3 bis Fact 3.2 inkl Beweis. Die finite support Iteration p270-271, sowie "Martin's Axiom" p272-274 und Theorem 16.16.
• Übungsaufgaben:
  • Kunen VII Exercise B8,
  • Zeigen Sie: $P\ast Q$ wie in Jech definiert ist forcing-äquivalen zur Definition von Golstern (genauer: es gibt eine dichte Einbettung)
  • Zeigen Sie: $P\ast Q$ wie in Jech definiert ist auch forcing äquivalent zur Definition in Kunen.
  • Wiederholen Sie: elementares Untermodell und Definition und Eigenschaften von $H(\kappa)$.

7. Einheit

• Lesen Sie aus Kapitel 16: Die "Two Step iteration" p267-270 (das kennen Sie schon aus Kunen), Die finite support Iteration p270-271, sowie "Martin's Axiom" p272-274 und Theorem 16.16.
• Übungsaufgaben: 16.10, 16.11 sowie 2 weitere aus Jech (belliebiges Kapitel) Ihrer Wahl.
• $P\ast Q$, wie in Jech 16 definiert, ist (ausser in trivialen Fällen) eine Klasse, keine Menge. (Warum?) Beschreibe wie man dieses Problem umgehen kann. (Hinweis: Eine Möglichkeit ist wie folgt: In jeder Erweiterung $M[G]$ definiere $\alpha$ als die kleinste Ordinalzahl so dass es für jedes $q\in Q[G]$ einen $P$-namen $\tau\in R_\alpha$ gibt mit $\tau[G]=q$. Wähle in $V$ eine obere Schranke für $\alpha$ (warum geht das?). Wie kann man dann $P\ast Q$ definieren?)

6. Einheit

• Lesen Sie die Bemerkung nach Thm 8.2 auf Seite 227 (stop before 8.3)
• VIII, §1
• VIII, §5, stop before "We not turn to consider $\alpha$-stage iteration"
• 4 Beispiele Ihrer Wahl.
• Zur Definition von vollständiger Einbettung:

  Sei (iii') die Aussage: Wenn $A\subseteq P$ maximale Antikette ist, dann ist $i(A)$ ebenfalls maximale Antikette.
  Behauptung: ``$i$ ist vollständige Einbettung'', d.h. (i)+(ii)+(iii), ist äquivalent zu (i)+(ii)+(iii').

  Beweis:
  (iii') impliziert (iii): Sei $D_1$ die Menge der Reduktionen, und $D_2=\{p\in P:\, i(p)\perp q \}$. Sei $A$ eine maximale Antikette in der (dichten) Menge $D_1\cup D_2$. Laut (iii) gibt es ein $a\in A$ mit $i(a)\perp q$. Also kann $a$ nicht in $D_2$ sein, muss also eine Reduktionen sein.
  (iii) impliziert (iii'): Sei $A$ eine maximale Antikette. Angenommen $q\perp i(a)$ für alle $a\in A$. Sei $p$ reduktion von $q$, und $p'\leq p,a\in A$. Dann ist $i(p')\leq q,i(a)$, ein Widerspruch.

  Bemerkung: Natürlich ist (iii') (vorausgesetzt (i) und (ii)) auch äquivalent zu:
  Wenn $D\subseteq P$ prädicht ist, dann ist $i(D)\subseteq Q$ prädicht.
  Oder zu: Wenn $D\subseteq P$ dicht ist, dann ist $i(D)\subseteq Q$ prädicht.
  (Aber $i(D)$ kann i.A. niemals dicht sein, ausser natürlich $i$ selbst ist dicht.)

5. Einheit

• Übungen von der 4. Einheit:
  • $q\leq^* p$ ist definiert als: $q\Vdash \check p\in G$.
  • Zeige: $q\leq^* p$ gdw $(\forall r\leq q)r\parallel q$.
  • Zeige: Wenn $q\leq^* p$ und $p\Vdash \varphi$, dann $q\Vdash \varphi$.
  • Eine partielle Ordnung heißt separativ, wenn $\leq^*$ dasselbe ist wie $\leq$. (Siehe Kunen Ex II (15) p 88). Zeige: $(P,\leq^*)$ is separativ. (Bem: das heisst also $(\leq^*)^*=\leq^*$)
  • Kunen VII Ex (B6) is not correct.
    Implication (i) to (iii) fails in the following example: Let $P=\mathbb N$ ordered by $q\leq_P p$ iff $q\geq_{\mathbb N} p$. From the point of vire of forcing, this order is trivial and certainly does satisfy (i) and (ii) for any $\alpha$. Let us fix $\alpha=\omega$. (iii) fails for $D_m=\mathbb N\setminus m$.
    Let us call $D\subseteq P$ open$^*$, if $p\in D$ and $q\leq^*p$ implies $q\in D$.
    Prove that Kunen VII Ex (B6) is correct when oprn is replaced ny open$^*$.
    Achtung: dass heisst nicht dass die urprüngliche Version von Kunen VII Ex (B6) gilt, wenn man voraussetzt, dass $P$ separativ ist. Es gilt nur dann wenn $P$ zusätzlich auch eine strikte partielle Ordnung ist (d.h., $p\leq q$ und $q\leq p$ impliziert $p=q$). Im allgemeinen sind unsere POs nicht strikt. Im obigen gegenbeispiel kann man zb einfach $m\lt n$ definieren für alle $m,n$, dann ist $P$ separativ (aber nicht strikt) und die Behauptung ist immer noch falsch.
• Read II: Def of BA and complete BA on p 63 (ignore references to MA), and Lemma 3.3 including proof. Do Exercise II (15) on p 88.
• Read VII §7. Do Exercises C1, C6 (Hint: by induction, create an increasing sequence of finite partial isomorphisms; use bookkeeping to make sure that the union has domain $\mathcal A$ as well as range $\mathcal NB$.
• Do four more exercises of your choice.
• Show: The identity function $f:(P,\leq)\to (P,\leq^*)$ is a dense complete embedding (dense is of course trivial, since $f$ is even surjective). Argue that his proves that it does not make any difference for the forcing if we replace $\leq$ by $\leq^*$.

5. Einheit

• (Falls es leicht geht: führen Sie Buch wie lange Sie brauchen und teilen Sie es mir nächstes Mal mit.)
• Lesen:
  • VII §6
  • VII §8 up to (incl) proof of Thm 8.2
• Übungsbeispiele: VII B6,F1 plus drei weitere Ihrer Wahl

4. Einheit

• (Bitte führen Sie Buch wie lange Sie brauchen und teilen Sie es mir nächstes Mal mit.)
• Lesen:
  • rest of VII §4 (ZFC in $M[G]$), including 4.1.
  • II, §1 - Almost disjoint sets, up to (including) Th 1.6 incl proof.
  • VII, 5 - Forcing with finite partial functions
• Übungsbeispiele:
  • optional (interessant, aber nicht wirklich notwendig für die LVA): II 3,4
  • VII A12,B5
• Typos:
  • VII, 5: In the proof of Lemma 5.5, $b$ is missing a check once: $r \Vdash \tau(\check a) = b$ should in fact be $r \Vdash \tau(\check a) = \check b$.

3. Einheit

• Bitte führen Sie Buch wie lange Sie bruauchen und teilen Sie es mir nächstes Mal mit.
• Lesen:
  • VII, §3 (Forcing),
  • half of VII §4 (ZFC in $M[G]$): you can skip 4.1, and from Theorem 4.2 read Comprehension, Replacement and Infinity. (Power set and AC will be done next time).
• Übungsbeispiele:
  • VII A2,A3 (Solution),A9,B1,B2.
  • Proof of Lem 3.2 (using Def 3.1, don't use $\Vdash^*$),
  • stuff that is "instructive to check" on p195.
• Typos:
  • VII, 3, p193, 2nd line: $f$ should be replaced by $f_G$;
  • VII, 3, page 198: "We must show that $\pi_{1G}\in\tau_{2 G}$" should be "We must show that if $s_1\in G$, then $\pi_{1G}\in\tau_{2 G}$".

2. Einheit

• Read (everything refers to Kunen's (old) book Set Theory):
  • Kunen VII,1 - General Remarks
  • II, 2 from definition 2.1 until (including) the paragraph after example 6
    Examples 3 and 4 on page 53 as well as the paragraph between example 4 and definition 2.4 may be ignored.
  • VII, 2 - Generic Extensions; ignore several small references to MA and to chapter II.
• Do the following Exercises:
  • VII A1, A4, A5. (Hint for A4: Similar to VII Lemma 2.3)
  • Plus zwei weitere Aufgaben Ihrer Wahl, aus Kapitel I, II oder VII.
• Typos:
  • II,2,p53, Def 2.2.: Replace $\cup$ with $\vee$.
  • II,2,p53, last line: $q\leq p$ should be $p\leq q$.

1. Einheit