250075 VO 3SWS 5ECTS

Axiomatische Mengenlehre 1

Vortragender:	Jakob Kellner
Inhalt:	Einführung in die Mengenlehre
Ort:	Seminarraum KGRC
Zeit:	Freitag 08:30-11:00 (mit 15min Pause)

Literatur

Wir gehen nach folgendem Buch vor (im weiteren kurz Kunen genannt):

Kunen, Kenneth: Set theory. Studies in Logic (London), 34. College Publications, London, 2011. viii+401 pp. ISBN: 978‑1‑84890‑050‑9 (17,60 EUR)

Das Buch deckt jedenfalls den gesamten Inhalt der Vorlesung ab. Eine Mitschrift ist nicht nötig (und es wird auch kein eigenes Vorlesungs-Skriptum geben). Wenn Sie wollen können Sie sich allerdings (begleitend zur VO) meine alten Ergänzungen zum alten Kunen (1983) ansehen. Sie fassen vor allem das Zusammenspiel von Logik und Mengenlehre zusammen, die im alten Kunen teilweise in Anhängen etwas versteckt wurde. Für Kunen (2011) sind diese Ergänzungen vermutlich nicht mehr nötig (schaden aber vermutlich auch nicht).

Anwesenheitspflicht

In der VO gibt es natürlich keine Anwesenheitspflicht. Nach jeder Vorlesungs-Einheit werde ich den behandelten Stoff (in Form von Seiten- oder Kapitelangaben) online stellen. Dadurch sollte es problemlos möglich sein der Vorlesung zu folgen, wenn Sie eine oder mehrere (oder alle) Vorlesungs-Einheiten versäumen.

Voraussetzungen

Wir setzen den Inhalt der Vorlesung Einführung in die mathematische Logik (2012W, Hans Adler) voraus. Genauer:
Elementare Logik (Prädikatenlogik, Vollständigkeitssatz, idealerweise auch Unvollständigkeitssatz und undefinierbarkeit eines Wahrheitsprädikates) sowie
Kunen (2011) bis Seite 74, mit den folgenden Ausnahmen: I.9 ab Seite 56, und I.12

Stoff

1. Einheit, 8. März	Wiederholung.
2. Einheit, 15. März	Die in der Einführung-VO übersprungenen Teile: I.9 ab Seite 56, I.12
3. Einheit, 22. März	Der Teil von I.13, der noch nicht in der Einführung gemacht wurde: S75-79.
(29. März: Osterferien)
(5. April: Osterferien)
4. Einheit, 12. April	I.14 bis I.17, ausser Seiten 97-103 von I.16
5. Einheit, 19. April	(Seiten 97-103 von I.16 haben wir weitgehend übersprungen, wir benötigen nur I.16.14 für $\mathcal L_0=\mathcal L=\{\in\}$.) Seiten 106-119.
6. Einheit, 26. April	Seiten 120-128.
7. Einheit, 3. Mai	Seiten 129-137, bis (inkl) Corollary II.6.14
8. Einheit, 10. Mai	Seiten 137-141 und Seiten 154-155 nis Lemma II.1.5. (Wir lassen den Rest von Chapter II, ab Seite 141, aus: $L[A]$, II.7, II.8, II.9, II.10.)
9. Einheit, 17. Mai	Seiten 155-159, bis incl III.1.19 (das einzig wirklich wichtige von III.1 ist die definitione von Ideal und Filter) Seiten 165-167, bis inkl III.2.8 (das wichtige: Delta system lemma, dazu vielleicht die konkrete Instanz von III.2.8 dass $2^\kappa$ ccc ist) Seite 171. Die Definitionen von forcing poset, (in)compatible, ccc und antichain ist wichtig!
10. Einheit, 24. Mai	Seiten 171 bis 176 (inkl III.3.21). Abschnitt IV.1.
11. Einheit, 31. Mai	S 245 bis S 252, inkl Lem IV.2.26
12. Einheit, 7. Juni	S 252 bis S 255
13. Einheit, 14. Juni	Rest von IV.2
14. Einheit, 21. Juni	IV.3 bis inkl Lemma IV.3.7
15. Einheit, 28. Juni	IV.5: Einführung und Abschnitt IV.5.1

Prüfungsstoff

Sie sollten folgende Sätze können (inklusive "Abschluss nach unten"):

Con(ZF - Foundation) impliziert Con(ZF)
Con(ZF) impliziert Con(ZFC+GCH)
Con(ZFC) impliziert Con(ZFC+$\lnot$CH)

Ausgenommen davon ist:

Details des Beweises von truth Lemma und definability Lemma (d.h. im wesentlichen: die Details der Seiten 255-261)
Sie brauchen nicht einmal die genaue Definition der "internen forcing-Relation" (die Existenz einer solchen Definition, d.h. das truth Lemma, brauchen Sie natürlich schon)

Nicht im Stoff (aber natürlich sehr hübsch) sind insbesondere alle Anwendungen vom 2. Unvollständigkeitssatz oder Undefinierbarkeit eines Wahrheitsprädikates, dazu zählen also:

Argument warum wir nicht einfach von "$M$ ctm von ZFM" ausgehen können (Sie brauchen aber sehr wohl IV.5, wie man es also "richtig" macht.)
Argument warum es keine universelle interne Forcing-Definition (simultan für alle Formeln) geben kann.
Argument warum (und in welchem Sinn) die Existenz eines wolfundierten ZF Modells stärker ist als die Konsitenz von ZF
ebenfalls brauchen Sie nicht: Beweis dass inaccessible stärker ist als Consistenz von ZFC.

Für die Prüfungsvorbereitung könnten Sie sich vielleicht auch Folgendes überlegen (ist aber nicht Stoff):

In einer (nichttrivialen) Forcingerweiterung gilt immer $V\ne L$.
Insbesondere: Sei $V=L$ und $M$ ein ctm von $ZFC+V=L$. ($M$ ist dann $L_\alpha$ für ein $\alpha\lt\omega_1$). Sei $G\in L$ $M$-generisch. Dann gilt $M[G]\vDash M=L$ und daher $M[G]\vDash G\notin L$. Es gilt aber natürlich $G\in L$. Es ist also ``$x\in L$'' nicht absolut für ctms von ZFC (``$x\in L_\alpha$'' aber sehr wohl).

Prüfung

Mündlich, nach Terminvereinbarung. Im Sommer 2013 sind Termine prinzipiell zu folgenden Zeiten möglich:

1.-5. Juli
23. Juli - 30. August
9. - 20. September