Proseminar zur Einführung in die Mathematische Logik

Einheit 10 (25. Jänner)

Ich beziehe mich auf Ziglers Skriptum. Arbeiten Sie die Beweise folgender Punkte aus:

• 17.6
• 17.7
• 17.8 (wichtig für den 2. Unvollständigkeitssatz und für Tarski's undefinierbarkeit der Wahrheit)

Einheit 10 (18. Jänner)

• 10.1 Using one of the usual definitions of ``real numbers'' (e.g., Cauchy sequences, or Dedekid cuts), show that the size of the real numbers is $2^{\aleph_0}$.
• 10.2 Show that $2^{\aleph_0}=\aleph_0^{\aleph_0}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}$. In particular, the set of integer sequences, the set of reals and the set of sequences of reals all have the same size.
• 10.3 So in particular, ${\aleph_1}^{\aleph_0}= 2^{\aleph_0}$. Show that ${\aleph_2}^{\aleph_0}=\max(\aleph_2, 2^{\aleph_0})$. (Hint: ${\aleph_2}$ is a successor cardinal an thus regular. So every function $f:{\aleph_0}\to {\aleph_2}$ is bounded.)
• 10.4 What does the same consideration give for ${\aleph_2}^{\aleph_0}$? Or ${\aleph_2}^{\aleph_1}$?
• 10.5 (etwas schwieriger) neuer Kunen Ex I.13.38 und I.13.39. Sei $\kappa\ge\omega$ Kardinalzahl und $\alpha$ eine Ordinalzahl. Zeige: Wenn $\alpha=\bigcup_{n\lt m}X_n$ eine endliche Vereinigung von Mengen $X_n$ mit Ordnungstyp (bzgl $\in$) $\lt \kappa^\omega$ (ordinalexponentiation), dann ist auch $\alpha\lt \kappa^\omega$. Aber für jedes $\alpha\lt\kappa^+$ gibt es Mengen $X_n$ vom Ordnungstyp $\kappa^n$ so dass die (unendliche) Vereinigung $\bigcup_{n\in \omega}X_n$ gleich $\alpha$ ist.

Einheit 9 (11. Jänner)

• 9.1 Neuer Kunen Ex I.11.18: Sei $\delta_0=0$, $\delta_{\alpha+1}=\aleph_{\delta_\alpha}$ und $\delta_\beta=\sup_{\alpha\lt\beta}(\alpha_\beta)$ für $\beta$ limes. Zeige: Für limit ordinalzahlen $\beta$ und $\kappa:=\delta_\beta$ gilt: $\aleph_\kappa=\kappa$.
• 9.2 Zornsches Lemma: Beweisen Sie das Zornsche Lemma (entweder aus dem Wohlordnungssatz oder aus dem Auswahlaxiom).
• 9.3. Beweisen Sie in ZFC (zB mithilfe des Zornschen Lemmas):
  1. Jeder Vektorraum hat eine Basis.
  2. (Krull) Jeder Ring mit Einselement hat ein maximales (nichttriviales) Ideal.
  3. Die Vereinigung von abzählbar vielen endlichen Mengen ist abzählbar.
  4. (Tychonoff) Das Produkt kompakter topologischer Räume ist kompakt.
  1 und 4 sind übrigens äquivalent zu AC; 3 zu einer schwachen Form von AC (bei 2 weiss ich es nicht, aber es ist sicher bekannt).

Einheit 8 (14. Dezember)

Blatt 8, Version 2012-12-10.