\documentclass{slides} \usepackage[german]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} % \usepackage{helvetic} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \def\xx#1\par{\par\centerline{\bf #1}\par} \def\yy#1:{\par\noindent{\bf #1:}} \renewcommand{\P}{{\mathscr P}} \newcommand{\B}{{\mathscr B}} \newcommand{\N}{{\Bbb N}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \begin{document} \begin{slide} \xx Was ist Mengenlehre? $$ A \cup (B\cap C) = (A \cup B)\cap (A\cup C)$$ \\[9cm] \end{slide} \begin{slide} \xx Mengenlehre ist \dots \begin{enumerate} \item die {\tiny oder jedenfalls: eine} {\bf universelle Sprache} der Mathematik \item {\bf Hardware} der Mathematik \item Erforschung des {\bf Unendlichen} mit mathematischen Mitteln \end{enumerate} \bigskip In der Mengenlehre betrachten wir oft {\tiny (eigentlich: immer)} Mengen, deren Elemente wiederum Mengen sind. Wenn $A$ und $B$ Mengen sind, dann sind auch $\{A\}$ und $\{A,B\}$ Mengen. {\small Und meist sind gerade solche ``Mengen von Mengen'' oder ``Mengenfamilien'' interessant.} \end{slide} \begin{slide} \xx Potenzmenge Wenn $A$ eine Menge ist, dann bezeichen wir mit $\P(A)$ die {\em Potenzmenge} von $A$, also die Menge aller Teilmengen von $A$. \yy Beispiel: Wenn $A = \{a,b,c\}$ 3 Elemente hat, dann hat $\P(A) $ 8 = $2^3$ viele Elemente: \begin{gather*} \{a,b,c\},\\ \{b,c\},\ \{a,c\},\ \{a,b\},\\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\\ \emptyset \end{gather*} Jede Menge (Familie) von Teilmengen von $A$ ist eine Teilmenge von $\P(A)$. {\small \yy Beispiel 1: $A = $ wie oben, Familie $\B := $ die Menge aller Teilmengen von $A$, die eine gerade Zahl von Elementen haben: $$\B = \{\ \emptyset , \ \{ a,b\}, \ \{ b,c\}, \ \{ a,c\} \ \}$$ \yy Beispiel 2: $A=$ ein Vektorraum, $\B = $ Familie aller linear unabhängigen Teilmengen von $A$. \yy Beispiel 3: Oder: $A$ eine unendliche Menge, $\B = $ Familie der endlichen Teilmengen von $A$. } \end{slide} \begin{slide} \xx Endlich und unendlich Was ist ``endlich''? \yy Versuch einer Definition: \begin{itemize} \item Endliche Menge = Mengen, die man hinschreiben kann \item Endliche Mengen entstehen so: \begin{itemize} \item Die leere Menge $\emptyset$ ist endlich. \item Wenn $A$ endlich ist, $a$ beliebig, dann ist auch $A \cup \{a\} $ endlich. \item Dieser Prozeß liefert alle endlichen Mengen. \end{itemize} \end{itemize} \end{slide} \begin{slide} \begin{itemize} \item {\sl Motivation: Wenn $A$ unendlich ist, ${\rm Fin}_A \subseteq \P(A)$ die Menge aller {\em endlichen} Teilmengen von $A$, dann hat ${\rm Fin_A}$ kein maximales Element. \\ Wenn aber $A$ endlich ist, und $\B \subseteq \P(A)$ beliebig (nichtleer), dann gibt es in $\B$ eine Teilmenge (oder mehrere) von $A$ die größtmöglich (im Hinblick auf die Anzahl ihrer Elemente) ist; so eine Teilmenge ist dann maximal in $\B$.}\\ Daher {\bf Definition:} Eine Menge $A$ heißt endlich, wenn jede Menge $ \B \subseteq \P(A)$ ein maximales Element hat {\small d.h., ein $\B$ enthält mindestens ein Element $B \subseteq A$ welches in $\B$ keine echte Obermenge hat.} \item {\sl Motivation: Für jede natürliche Zahl $n$ ist die Menge $ \{1,\ldots, n\}$ endlich. Diese Mengen sind ``Prototypen'' für alle endlichen Mengen}\\ Daher {\bf Definition:} Eine Menge $A$ heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl $n$ und eine Bijektion $f:\{1,\ldots, n\}\to A$ gibt. \end{itemize} \end{slide} \begin{slide} \xx To Infinity and Beyond! Auch unendliche Mengen kann man ihrer ``Größe'' nach klassifizieren. \yy Definition: $A \approx B$ genau dann, wenn es eine Bijektion $f:A \to B$ gibt. $A$ und $B$ heißen dann ``gleichmächtig''. \\ $A \lesssim B$ genau dann, wenn es eine injektive Abbildung $f: A \to B$ gibt. {\small D.h.: Wenn $A$ gleichmächtig mit einer Untermenge von $B$ ist.} \\ $A < B$ genau dann, wenn es $A\lesssim B$, aber nicht $B \lesssim A$. {\small {\bf Achtung! } Das ist nicht äquivalent zu: ``wenn $A$ gleichmächtig mit einer {\em echten} Untermenge von $B$ ist.''} \yy Satz: Wenn $A \lesssim B$, und $B \lesssim A$, dann $A\approx B$. \\ \yy Satz: Für alle Mengen $A,B$: $A \lesssim B \ \vee \ B \lesssim A$. Daher: Die Beziehung $\approx$ ist eine Äquivalenzrelation, und die Klassen dieser Relation sind linear geordnet. \end{slide} \begin{slide} \xx Kardinalität und Kardinalzahl Die {\em Kardinalität} einer Menge $A$ ist die Äquivalenz\-klasse der Menge $A$ bezüglich der Relation $\approx$. Zum Beispiel ist die Kardinalität einer Einermenge $\{a\}$ die Klasse aller Einermengen. Da es unhandlich ist, mit so großen Klassen zu rechnen, verwenden wir stattdessen ``Kardinalzahlen'': Aus jeder Kardinalität wählen wir einen kanonischen Repräsentanten. ZB wählen wir aus der Klasse der Einermengen die Menge $\{0\}$ als Repräsentanten aus, aus der Klasse der Zweiermengen die Menge $\{0,1\}$. \\ Diese Repräsentanten nennen wir dann {\em Kardinalzahlen}. {\tiny Diese Unterscheidung Bezeichung {\it Kardinalität/Kardinalzahl} ist in der Literatur nicht einheitlich.} Statt ``Kardinalität (Kardinalzahl) der Menge der \dots'' sagen wir auch informell ``Anzahl der \dots'' \end{slide} \begin{slide} \xx Abzählbar, überabzählbar, \dots Für jede unendliche Menge $A$ gilt $\N \lesssim A$. Daher: Alle unendlichen Mengen sind entweder $\approx \N$ oder $>\N$. Wenn $A \approx \N$ ist, dann heißt $A$ ``abzählbar''; wenn $ \N < A$ ist, dann heißt $A$ überabzählbar. Die Kardinalzahl von $\N$ heißt $\aleph_0$ ({\sf aleph-0}) oder auch $\beth_0$ ({\sf beth-0}). \yy Satz von Cantor, erste Version: $\R \not\approx \N$. Anders ausgedrückt: $\N < \R$, oder: $\R$ ist eine überabzählbare Menge. Man kann zeigen, daß $\R \approx \P(\N)$ ist. Daher: \yy Satz von Cantor, zweite Version: $\N < \P(\N)$. \end{slide} \begin{slide} \yy Satz von Cantor, dritte Version: $A < \P(A)$ gilt für alle Mengen $A$. Daher gilt: Zu jeder Kardinalität gibt es eine größere. Man kann sogar folgendes zeigen: \yy Satz: Zu jeder Kardinalität (Kardinalzahl) gibt es einen ``Nachfolger'', d.h. eine ``nächstgrößere''. Das ist trivial für endliche Kardinalitäten, aber nicht für unendliche, denn wenn $A$ unendlich ist, $a\notin A$, dann ist im allgemeinen $A \approx A \cup \{a\}$. Es gilt sogar $A \times A \approx A$. Allgemein gilt: Wenn $A$ unendlich ist, $B $ nichtleer, und $B \lesssim A$, \\ dann: $A \approx A \cup B \approx A\times B$. ``Addition'' und ``Multiplikation'' von unendlichen Kardinalzahlen ist also trivial. (Exponentiation nicht!) \yy Achtung: Nicht jede Kardinalität hat einen Vorgänger. \end{slide} \begin{slide} \xx Paradoxa? Wir wissen: $\R$ ist eine überabzählbare Menge. \yy Achtung: Unter jeder sinnvollen Definition des Wortes ``definierbar'' gibt es nur abzählbar viele definierbare reelle Zahlen (weil es nur abzählbar viele Definitionen gibt). Daher gibt es jedenfalls auch ``undefinierbare'' reelle Zahlen. Das mag paradox erscheinen -- wie kann man beweisen, daß es etwas gibt, dessen Existenz man nicht ``explizit'' beweisen kann? \bigskip Wir wissen: $ \R\times \R \approx \R$. Man kann sogar eine sehr einfache injektive Abbildung von $\R\times \R $ nach $\R$ angeben. \\[2cm] Das heißt: die Ebene enthält ``genausoviele'' Punkte wie die Gerade. \end{slide} \begin{slide} \xx Iterierte Potenzmengen $\beth_0$ ist die Kardinalität von $\N$. {\tiny Ebenso ist $\beth_0$ die Anzahl Primzahlen, der rationalen Zahlen, der algebraischen Zahlen, die Kardinalität der freien Gruppe mit 7 Erzeugenden, etc.} $\beth_1$ ist die Kardinalität von $\R$ oder von $\P(\N)$, oder von $\N \cup \P(\N)$. {\tiny $\beth_1$ ist auch die Anzahl der Borelmengen, der unendlichen 01-Folgen, der stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$, die Kardinalität jedes separablen Hilbertraums\footnotemark \dots} $\beth_2$ ist die Kardinalität von $\P(\R)$, von $\P(\P(\N))$, oder von $\N \cup \P(\N) \cup \P(\P(\N))$. {\tiny $\beth_2$ ist auch die Anzahl aller Funktionen von $\R$ nach $\R$, oder der Riemann-integrierbaren Funktionen, der freien Ultrafilter auf $\N$, der separablen metrischen Räume mod Isometrie, \dots} etc. Und dann? \end{slide} \begin{slide} \xx Hinter'm Horizont geht's weiter \dots $\beth_\omega$ ist die Kardinalität der Menge $$ B := \ \N \cup \P(\N) \cup \P(\P(\N)) \cup \cdots $$ Offensichtlich ist $\N\lesssim B$, $\P(\N) \lesssim B$, \dots \\ Daher auch $\N < B$, $\P(\N) < B$, \dots Es stellt sich heraus, daß $\beth_\omega $ die kleinste Kardinalzahl ist, die größer als alle $\beth_n$ ist. $\beth\omega$ hat keinen Vorgänger. \bigskip Danach geht es wieder mit der Potenzmenge weiter: \\ $\beth_{\omega+1}$ ist die Kardinalität von $\P(B)$, etc. \bigskip Wie viele Kardinalitäten gibt es? Unendlich viele. Überabzählbar viele. Mehr als $\beth_1$. Mehr als $\beth_\omega$. \dots \end{slide} \begin{slide} \xx Iterierte Nachfolger Gibt es Kardinalitäten, die zwischen $\beth_0$ und $\beth_1$ liegen? Wenn ja, wie viele? Eine? Zwei? 2000? Abzählbar viele? $\beth_1$ viele? (Jedenfalls nicht mehr als $ \beth_1$!) \bigskip \xx Definition: $\aleph_0 = \beth_0$ = Kardinalität von $\N$. $\aleph_1$ ist der Nachfolger von $\aleph_0$, d.h., die erste überabzählbare Kardinalität/Kardinalzahl. {\tiny % $\aleph_1$ tritt zwar % nicht so häufig auf wie $\beth_1$, aber doch gelegentlich. $\aleph_1$ ist zB die Anzahl der abzählbaren Wohlordungen (modulo Isomorphie).} $\aleph_2$ ist der Nachfolger von $\aleph_1$, etc. $\aleph_\omega $ ist die kleinste Kardinalität, die größer als alle $\aleph_n$ ist. $\aleph_{\omega+1}$ ist der Nachfolger von $\aleph_\omega$. etc. \end{slide} \begin{slide} \xx Kontinuumshypothese Die folgenden Fragen haben alle dieselbe Antwort: \begin{enumerate} \item Gibt es eine Kardinalität, die zwischen $\beth_0$ und $\beth_1$ liegt? \item Gibt es eine Menge $A \subseteq \R$, die zwar über\-ab\-zähl\-bar ist, aber noch nicht $\approx \R$? \item Ist $\beth_1 > \aleph_1$ ? \end{enumerate} Die {\em Kontinuumshypothese (abgekürzt: CH)} sagt, daß die Antwort ``nein'' lautet. \end{slide} \begin{slide} \xx Wir sehn betroffen \dots CH ist nicht beweisbar. D.h., es gibt keine explizite Bijektion von einer Menge der Größe $\aleph_1$ auf $\R$. CH ist auch nicht widerlegbar. D.h., es gibt keine explizite beschreibbare Menge $A \subseteq \R$, die zwar überabzählbar aber noch $<\R$ ist. \bigskip \bigskip Es gibt also ganz konkrete Fragen, die (mit Hilfe der üblichen mengentheoretischen Axiome) nicht beantwortet werden können. {\small So wie auch etwa das Parallelenaxiom nicht mit Hilfe der anderen Axiome der Geometrie beweisbar oder widerlegbar ist.} Im Hinblick auf den Gödelschen Un\-voll\-stän\-dig\-keits\-satz ist das aber nicht verwunderlich: \\ {\bf Jedes} mathematische System {\tiny das gewisse Minimalanforderungen erfüllt -- entscheidbare Axiomenmenge, umfaßt die Arithmetik} ist unvollständig! \end{slide} \begin{slide} \end{slide} \end{document}