Das Buch Wahrheit, Beweis, Unendlichkeit von John Stillwell (Originaltitel: Roads to Infinity), beantwortet die meisten Fragen, die mir im Verlauf oder am Ende der Logik-Vorlesung gestellt werden, und erklärt auch, welche Themen in der modernen Logik behandelt werden. (Buchbesprechung)
Das Buch Mathematical Logic von Joseph Shoenfield behandelt (fast) alle Themen der Vorlesung (und geht weit darüber hinaus), ebenso wie A course in mathematical logic von Bell und Machover, Hinmans Fundamentals of Mathematical Logic. und Mathematische Logik - kurzgefaßt von Tuschik+Wolter. (Allerdings kommt Resolution hier nicht vor.)
Praktisch alle Logikbücher erklären Aussagenlogik, und alle guten Logikbücher erklären auch Prädikatenlogik und den Vollständigkeitssatz. Die folgenden Bücher sind empfehlenswert, auch wenn Mengenlehre nicht oder nur am Rande vorkommt: A mathematical introduction to logic von Herbert Enderton (2nd edition), Einführung in die mathematische Logik und Modelltheorie von Alexander Prestel, The Incompleteness Phenomenon von Goldstern und Judah, Einführung in die mathematische Logik von Ebbinghaus, Flum und Thomas.
Mengenlehre zB wird in Naive Set Theory von Paul Halmos, Set Theory von Robert Vaught, Intermediate Set Theory von Drake und Singh, Basic Set Theory von Azriel Levy, Foundations of Set Theory von Fraenkel, Bar-Hillel und Levy einführend behandelt. (Halmos bespricht aber keine Modelle der Mengenlehre; die anderen erwähnten Bücher gehen weit über den relevanten Stoff hinaus.) Einführung in die klassische und intensionale Logik. von Ulf Friedrichsdorf behandelt auch Berechenbarkeitstheorie (Rekursionstheorie) und nichtklassische Logik.
Viele dieser Bücher kann man in pdf- oder djvu-Format im Internet finden. (Was man legal herunterladen kann, wird in Österreich im Urheberrechtsgesetz geregelt, insbesondere im §42