Dienstag 4.10.:
Aussagenlogik: ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔
Tautologien, z.B. A∧B ⇒ A, A∨¬A.
Implikation. Wahrheitstafeln.
Quantoren ∀ ∃ .
Mittwoch 5.10.
Oft verwendete Äquivalenzen:
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) ("Kontraposition)
¬(A ⇒ B) ⇔ ( A ∧ ¬B )
¬∃x:P(x) ⇔ ∀x:¬P(x)
Mengen: "Menge aller x für die gilt" { x : .... } oder { x | ... }
Durchschnitt, Vereinigung von 2 Mengen. Differenz. Symmetrische Differenz.
Vereinigung einer Menge von Mengen. ("Elemente zweiter Stufe")
Mengen: x ∈ y, x ⊆ y. Zum Beispiel ℕ ⊆ ℝ aber ℕ ∉ ℝ.
Teilmenge, echte Teilmenge.
Beispiel: Die Mengen A = { ℝ } und B = { ℕ , ℝ } sind verschieden, denn ℕ ∉ A.
Donnerstag 6.10.
es gibt genau ein, mindestens ein, höchstens ein.
Vertauschen von Quantoren: ∃x ∀y, ∀y ∃x, ∀x ∀y, ∀y ∀x, etc.
Paare. Relationen.
Äquivalenzrelation, Partition.
Freitag 7.10.
Äquivalenzrelation -> Partition und umgekehrt. Beweis.
Funktionen als spezielle Relationen. Injektive Funktionen.
Montag 10.10.
Potenzmenge. x∈A, {x}⊆A, {x}∈P(A). {{x}}⊆??, {{x}}∈??
Funktionen: von A nach B, surjektiv auf B, injektiv.
Wohldefiniertheit. (erster Versuch)
Familie: Funktion, aber andere Notation; die Werte sind wichtiger als die Funktion selbst.
Verknüpfung von Funktionen { (x,z): ∃y (x,y) in f und (y,z) in g }.
Linksinverse, Rechtsinverse. Beispiele.
f ist injektiv genau dann, f eine Linksinverse hat. (für nichtleere Menge)
Beweis.
(f surjektiv genau dann, wenn f eine Rechtsinverse hat.)
Dienstag 11.10.
f surjektiv ⇔ f hat Rechtsinverse
Bildmenge, Urbildmenge. f-1
(Achtung! Wenn f:A→B, dann wird die Notation f-1
auch für eine gewisse Funktion von P(B) nach P(A) verwendet,
die N⊆B auf {x∈A: f(x)∈N} abbildet)
Sym(M) = Menge aller Bijektionen von M nach M. Beispiel einer Gruppe.
Definition: Gruppe. Beispiele. kommutativ, nicht kommutativ. Halbgruppe.
Gruppe: Menge mit 2stelliger Operation, assoziativ, neutrales Element
ist eindeutig!), jedes Element hat ein inverses.
Beispiel Z mit Addition, Q ohne 0 mit Multiplikation.
Mittwoch 12.10.
Untergruppen: abgeschlossen unter der Gruppenoperation und unter Inversen.
Körper.
partielle Ordnungen, lineare Ordnungen
Die natürlichen Zahlen, abstrakte Definition (X, x_0, f)
Induktionsbeweis. (Alle natürlichen Zahlen sind 0 oder Nachfolger)
Donnerstag 13.10.
angeordnete Körper / Körper mit Positivitätsbereich
Induktionsbeweise.
Definition durch Rekursion.
Die natürlichen Zahlen sind "eindeutig". (Isomorphie)