Anwendungen der mathematischen Logik

Inhalt

8.10.

• Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen, Überabzählbarkeit der reellen Zahlen, Existenz von transzendenten Zahlen.
• Galoisverbindungen, Beispiele: lineare Algebra, Logik. Die Theorie T der algebraisch abgeschlossenen Körper. Der "syntaktische" Nullstellensatz: Formeln sind zu quantorenfreien Formeln äquivalent. (Beweis nächste Stunde.) Semantische Folgerung (algebraisch abgeschlossene Körper -- elementare Untermodelle). Der schwache Nullstellensatz: Lösbarkeit eines Gleichungssystems hängt nicht vom Körper ab. Formulierung des starken Nullstellensatzes (Radikal).

15.10.

• Beweis des "syntaktischen" Nullstellensatzes: Die Relation "Polynom p teilt Polynom q"; Reduktion auf reine Existenzformeln; Reduktion des Grades mit "Divisionsalgorithmus". Entscheidbarkeit in Abhängigkeit von der Charakteristik.
• Reell abgeschlossene Körper; Beispiele. Formulierung des Satzes von Tarski; (Beweis vielleicht später?). Konsequenz: Entscheidbarkeit.

22.10.

• Nonstandard Analysis. Totalgeordnete Körper. Archimedisch. Beispiele: Q, Q(V2), Q(x). Endliche (K_e) und infinitesimale (K_0) Elemente, K_e modulo K_0 ist Körper.
• Konkurrente Relationen. Elementare Erweiterung, "saturiert" bez konkurrenter Relationen.
  Beweisskizze: Jede genügend saturierte Erweiterung K von Q liefert K_e/K_0 = R.

29.10.

• Nonstandard Analysis: Charakterisierung von Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit in der saturierten Erweiterung. Beispiel: Beweis der Produktregel.
• Nonstandard Algebra: Beweis des Stoneschen Darstellungssatzes für Boolesche Algebren.

5.11.

• Vitalimenge
• Die freie Gruppe Fr(2)...
• ... kann als Gruppe von Drehungen der Sphäre gesehen werden.
• Eine paradoxe Zerlegung der freien Gruppe Fr(2)
• ... induziert eine paradoxe Zerlegung der Sphäre, abgesehen von einer abzählbaren Menge.

12.11.

• Zerlegungsäquivalenz. Paradoxe Zerlegung einer Menge induziert eine paradoxe Zerlegung jeder zerlegungsäquivalenten Menge. Paradoxe Zerlegung der Kugel.
• Paradoxe Zerlegung mit Ultrafilter statt mit Auswahlaxiom.

19.11.

• Nichtmessbare Menge aus dem Satz von Fubini: mit CH, ohne CH.
• Effektive CH: Jede überabzählbare Teilmenge von R Menge enthält eine perfekte Menge, bzw eine stetige injektive Kopie der Cantormenge. (mit AC widerlegbar, siehe nächste Woche)
• Cantor-Bendixson: abgeschlossene Teilmengen von R sind "abzählbar + perfekt". 2 Beweise: Kondensationspunkte, iterierte Ableitungen.

26.11.

• Struktur der Halbordnung der Nullmengen / der mageren mengen unter CH.
• Basis dr Nullmengen unter dem Martinschen Axiom. Amoeba Forcing.

3.12.

• Amoeba forcing; sigma-linked Halbordnungen.
• Transfinite Induktion bis zum Kontinuum: Bernstein-Menge; Ciesielskis Beispiele
• Neues Thema: Diophantische Gleichungen.

10.12.

• Registermaschinen, Übersetzung einer Berechnung in diophantische Gleichungen mit Zusatzoperationen/-relationen: "jedes Bit von x ist kleinergleich dem entsprechenden Bit von y"

17.12.

• Die Funktionen "x hoch y" und "Binomialkoeffizient" sind diophantisch. (Beweisfragment)

14.1.

• Ordnungspolynomvollständige Verbände. Monotone Funktionen auf abzählbaren partiellen Ordnungen. Große Antiketten in L^n.

21.1.

• Sätze von Ramsey, Erdös-Rado. Große Ketten/Antiketten in partiellen Ordnungen. Noch größere Antiketten.

28.1.

• Kanonsierungssatz (mit Beweis). Starke Limeszahlen mit abzählbarer und mit überabzählbarer Kofinalität.
• "Anwendung" der Linearen ALgebra in der Mengenlehre: Satz von Blass: Wenn jeder Vektorraum eine Basis hat, dann gilt das Auswahlaxiom.

Prüfungsstoff

1. Nullstellensatz
2. Nonstandard Analysis
3. Banach-Tarski-Paradoxon
4. Transfinite Induktion, CH, MA
5. Diophantische Gleichungen
6. Ordnungspolynomvollständige Verbände