Algebra, Goldstern, SS 2019

Montag 4.3.2019
Halbgruppen, Monoide, Gruppen. (Administrativa. UE-Voranmeldung.)

Unterhalbgruppen, Untermonoide, Untergruppen.

Beispiele. Halbgruppen auf {0,1}.

Isomorphie von Halbgruppen, von Gruppen.

Induktion auf den natürlichen Zahlen. Assoziativgesetz für Addition (Beweisfragment)

Mittwoch 6.3.
Körper, Schiefkörper, Ring mit/ohne 1, Homomorphismus.

Beispiele.

algebraisch abgeschlossener Körper.

Beweisskizze: C ist algebraisch abgeschlossen. ("Fundamentalsatz der Algebra")

Relationen als Mengen. Wie viele binäre Relationen auf A?

Montag 11.3.
schwacher/starker relationaler Homomorphismus.

Äquivalenzrelation E ⊆ AxA. Partition. A/E.

Halbordnung=partielle Ordung. (strikt und reflexiv)

Präordnung=Quasiordnung (A, R). → Halbordnung auf A/E.

minimales Element, kleinstes Element, infimum.

Mittwoch 13.3.
Halbverbände und Verbände: im ordnungstheoretischen Sinn, im algebraischen Sinn.

Vollständige Verbände. Bedingte Vollständigkeit. Beispiele.

Montag 18.3.
Algebren, relationale Strukturen. Typ einer Algebra.

Unterschied: Operationssymbol, Operation.

Termalgebra. Einsetzungshomomorphismus.

Gesetze = allquantifizierte Gleichungen.

Unteralgebren. Gesetze vererben sich auf Unteralgebren.

Logik erster Stufe: Atomformeln, Konjunktion/Negation/etc, Quantoren.

Kategorien: Definition. Beispiele: Gruppen, top. Räume, etc.

weitere Beispiele: Monoid, partielle Ordnung.

Mittwoch 20.3.
initiale und terminale Objekte.

Produkte und Koprodukte in Kategorien. Koprodukt von disjunkten Mengen.

Unteralgebren.

Terme, Formeln.

Erzeugte Unteralgebra: von oben, von unten.

Montag 25.3.
ko- und kontravariante Funktoren.

Beispiele: Potenzmenge, Hom(-,b), Hom(a,-)., Dualraum (=Spezialfall von Hom(-,K))

Erzeugte Unteralgebra.

Kongruenzrelation. Homomorphiesatz.

Con(A) = vollständiger Verband aller Kongruenzrelationen.

Mittwoch 27.3.
Produkte von Algebren. (endlich, unendlich, leer)

Kongruenzrelationen als Unteralgebren des Produkts.

Con(A).

Beispiel: Vektorräume, Gruppen - nicht distributiv.

Beispiel: Kongruenzverband eines Verbandes. Medianfunktion. Con(V) ist distributiv.

Varietät = gleichungsdefinierte Klasse.

Abschluss unter homomorphen Bildern, Unteralgebren, Produkten.

Kern = Kongruenzrelation, Kern = Urbild des neutralen Elements.

Montag 1.4.
2.Isomorphiesatz: Unterstrukturen/Äquivalenzrelationen.

Halbgruppe in Monoid einbetten. Gruppen sind kürzbar.

Beispiele von Monoiden: N, Z.
Worte = endliche Folgen = X<∞, mit Verkettung .

Cayley für Monoide: Einbettung in MM. Analoger Beweis für Gruppen: Einbettung in Sym(G).

Primzahlen. Fundamentalsatz der Arithmetik. Nx als schwaches Produkt von (linearen) Verbänden.

Mittwoch 3.4.
1.Isomorphiesatz, ker(g o f) und ker(f).

Gruppenhomomorphismen, Nebenklassen (Recht/Links).

Normalteiler. Charakterisierung als Urbild des neutralen Elements.

Zyklische Gruppen: Z, Z/kZ.

Beispiel Sub(Z)=Con(Z).

Montag 8.4.
Innere Automorphismen. Konjugation. Normalteiler von S_n.

Satz v Cayley für Gruppen.

Ringe. Ringhomomorphismen. Ring_1-Homomorphismen.

Ideale.

Mittwoch 10.4.
Montag 29.4.
Wh: Quotientenkörper.

Polynome, formale Potenzreihen, Laurentreihen.

Chin.Restsatz. (Beweis: UE)

Mittwoch 1.5.
(keine VO)
Montag 6.5.
Chin.Restsatz für Z.

Eulersche phi-Funktion.

Definition: Modul, Untermodul.

p-Gruppe.

Mittwoch 8.5.
endliche abelsche gruppen. Darstellungssatz.

Beweis, Teil 1: Zerlegung in p-Teile.

Beweis, Teil 2, für p-Gruppen: Direktes Produkt C_(p^n) * Rest.

Montag 13.5.
Abschluss endl abelsch.

Freie algebren.

Freie gruppe skizziert.

Mittwoch 15.5.
freie Gruppe via freies Monoid.
Montag 20.5. und Mittwoch 22.5.
freie algebra, termalgebra.

Existenz von freien Algebren.

Satz von Birkhoff: gleichungsdefiniert genau dann, wenn HSP.

Montag 27.5.
Koprodukte, Definition.

Freie Algebren als Koprodukte.

Polynomalgebra = Koprodukt von A und Fr.

Mittwoch 29.5.
Integritätsbereiche.

Irreduzibel, prim.

Faktorielle Ringe: irreduzibel=prim, plus Kettenbedingung.

ggT, kgV.

Hauptidealring, Definition.

Hauptidealringe sind faktoriell.

Montag 3.6.
euklidische Ringe sind HIR. Beispiel K[x]. euklidischer Algorithmus für Polynome.

primitive Polynome in R[x], R faktoriell: (ggT(Koeffizienten) = 1).

Produkt von primitiven ist primitiv

Mittwoch 5.6.
Inhalt eines Polynoms, Darstellung Inhalt*primitiv.

R[x] faktoriell wenn R faktoriell.

irreduzibel in R[x] ⇔ irreduzibel in K[x] (wenn K=quotientenk, und primitiv.

Montag 10.6. und Mittwoch 12.6.
Abspalten von Nullstellen.

Primkörper, Charakteristik.

Algebraische Erweiterungen. Dimension einer Erweiterung.

Gradsatz.

p(x) irreduzibel ⇒ K[x] / I ist Erweiterung von K, x+I ist Nullstelle. (Wenn I=(p(x)))

Nullstellenkörper. (Definition, Existenz)

Zerfällungskörper. (Def)

Montag 17.6.
Polynom induziert Polynomfunktion (nicht injektiv).

Zerfällungskörper ist eindeutig bis auf Isomorphie.

Zerfällungskörper von x^(p^k)-x = GF(p^k), einziger Körper mit p^k Elementen.

Wenn K ≤ L endliche Erweiterung, Grad n, dann L = K^n (additiv)

Mittwoch 19.6.
endliche Körper GF(p^n) ⊆ GF(p^k) ⇔ n|k.

Algebraische Elemente bilden Unterkörper.

algebraisch abgeschlossen.

Zerfällungskörper von K[x] ist algebraischer Abschluss.

Algebraischer Abschluss von GF(p): GF(p^infty).