Algebra Seminar talk
2022-05-06
Benedikt Buckecker
Alle Klone (mit Konstanten) sind Zentralisatorklone
Abstract:
In meinem Vortrag beschäftige ich mich mit Klonen, genauer abstrakten
Klonen.
Ein abstrakter Klon ist die abzählbare Vereinigung von Mengen $F=\cup_{n\in \mathbb{N}} F^{(n)}$, wobei wir in jedem $ F^{(n)} $ "Projektionen" $p_i^{(n)}$ für $1\le i \le n$ haben, sowie die Superpositionsoperationen $ S_n^m: F^{(m)}\times (F^{(n)})^m\to F^{(n)}$, die natürliche Axiome erfüllen, wie etwa $S_n^m(f,p_1^{(n)},\ldots, p_n^{(n)})=f$.
Für einen konkreten Klon betrachten wir eine Menge $A$ und Mengen $ F^{(n)}\subseteq A^{A^n}$. Die Projektionen p_i^{(n)} sind genau die Projektionen auf die i-te Komponente und die Superposition ist das Einsetzen von Funktionen in Funktionen. Ein spezieller konkreter Klon ist der Zentralisatorklon, wo wir eine Algebra $A$ und alle Homomorphismen $A^n \to A$ betrachten. In einem abstrakten Klon definieren wir Konstanten, welche für einen konkreten Klon genau die konstanten Funktionen sind.
Eine Konstante kann entweder explizit oder virtuell sein. Diese Unterscheidung ist essentiell für das nachfolgende Repräsentationsresultat. In einem abstrakten Klon sind entweder alle Konstanten explizit oder alle virtuell. Für einen abstrakten Klon mit virtuellen Konstanten lässt sich ein erweiterter Klon finden, wo diese Konstanten explizit werden. Im Hauptteil des Vortrags wird gezeigt, dass jeder abstrakte Klon mit zumindest einer expliziten Konstante isomorph zum Zentralisatorklon einer Algebra mit unären Operationen ist. Dieses Resultat verwenden wir, um zu zeigen, dass jeder abstrakte Klon mit zumindest einer Konstante isomorph zum Zentralisatorklon eines algebraischen Systems ist, indem wir noch eine unäre Relation zur Algebra hinzufügen.