Algebra Seminar talk

2021-04-16
Florian Wimmer
Der Hilbertsche Nullstellensatz und seine geometrischen Implikationen

Abstract:


Der Hilbertsche Nullstellensatz lässt sich als eine Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Algebra auffassen. Statt eines einzelnen nicht-konstanten Polynoms über den komplexen Zahlen (oder allgemeiner über einem algebraisch abgeschlossenen Körper), wird ein System von Polynomgleichungen, gegeben durch ein echtes Ideal in einem Polynomring, betrachtet, das laut dem Nullstellensatz eine gemeinsame Nullstelle besitzt. Es gibt verschiedene Beweiszugänge, im Vortrag werde ich einen direkten Zugang präsentieren und mit maximalen Idealen und dem Lemma von Zorn argumentieren.

Mit einer zweiten Version des Hilbertschen Nullstellensatzes erhält man einen Zusammenhang zwischen affinen Varietäten, das sind Lösungsmengen von algebraischen Gleichungssystemen, und Idealen. Zum genaueren Studium der affinen Varietäten führen wir noch die Zariski-Topologie auf $K^n$ und auf dem Spektrum eines Rings R (das ist definitionsgemäß die Menge aller Primideale von R) ein.