Algebra Seminar talk
2020-01-24
Tobias Engelhardt
Zwei historisch prominente Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra
Abstract:
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt bekanntlich, dass jedes nichtkonstante komplexe Polynom $f$ eine Nullstelle hat. Im Vortrag werde ich zwei historisch besonders interessante Beweise präsentieren, beide von Gauß.
Den ersten (im Wesentlichen) anerkannten Beweis des Fundamentalsatzes überhaupt veröffentlichte Gauß 1799 in seiner Dissertation. Dabei verwendete er topologische Argumente, um zu zeigen, dass die Nullstellenmengen von Real- und Imaginärteil von $f$ nichtleeren Schnitt haben.
Der zweite Beweis aus dem Jahr 1816 erfolgt mittels Induktion nach der höchsten Zweierpotenz, durch die der Grad von $f$ teilbar ist. Das einzige analytische Hilfsmittel, das verwendet wird, steckt im Induktionsanfang: Jedes reelle Polynom ungeraden Grades hat eine reelle Nullstelle.