Algebra Seminar talk
2018-05-04 (10:15)
Clemens Schindler
Galoistheorie in allgemeinen Körpererweiterungen
Abstract:
Die Denkweise, die Struktur mathematischer Objekte über die konkrete Realisierung zu stellen, führte Galois (unter anderem) zu den Ergebnissen, die man heute im Hauptsatz der Galoistheorie für endlichdimensionale Körpererweiterungen zusammenfasst. Anfang des 20. Jahrhunderts bewies Krull eine Verallgemeinerung für möglicherweise unendlichdimensionale, jedenfalls aber algebraische Erweiterungen. Mein Vortrag entfernt sich noch weiter von den historischen Anfängen, indem auch nichtalgebraische Erweiterungen zugelassen werden.
Zunächst geht es um die Frage, welche Aussagen aus den Hauptsätzen schon hinreichend dafür sind, dass die betrachtete Erweiterung algebraisch und Galois'sch ist. Beispielsweise ist dies der Fall, wenn die Topologie auf der Galoisgruppe, wie sie im algebraischen Hauptsatz in Form der Krull-Topologie auftritt, eine Gruppentopologie ist. Ist sie zusätzlich kompakt, so muss sie bereits mit der Krull-Topologie übereinstimmen. Diese Sätze geben im Umkehrschluss Grenzen dafür vor, wie stark eine nichtalgebraische Galoistheorie sein kann. Diese Grenzen werde ich in einem zweiten Teil ausreizen; ein Vorgehen, das auf den von Soundarajan und Venkatachaliengar bewiesenen Hauptsatz der Galoistheorie für nichtalgebraische Erweiterungen führt. Auch für eine beliebige Körpererweiterung gibt es nämlich eine Topologie auf der Galoisgruppe, für die die Galois-abgeschlossenen genau mit den topologisch abgeschlossenen Untergruppen übereinstimmen. Sind zusätzlich alle Zwischenkörper der Erweiterung Galois-abgeschlossen, so spielt diese Topologie daher die gleiche Rolle wie die Krull-Topologie. Geht man von einer algebraischen Erweiterung aus, so fallen beide Topologien zusammen, sodass die entwickelte Theorie eine direkte Verallgemeinerung der bekannten Galoistheorie darstellt.