Algebra Seminar talk
2017-06-02
Martin Goldstern
Homomorphismen zwischen Produkten von Verbänden
Abstract:
Ich berichte über eine gemeinsame Arbeit mit Ivan Chajda und Helmut Länger.
Wir bezeichnen den Kongruenzverband einer Algebra A mit Con(A).
Der Satz von Fraser und Horn besagt, dass unter gewissen Bedingungen die natürliche Abbildung von Con(A) x Con(B) nach Con(AxB) surjektiv ist, sich also jede Kongruenz auf AxB als "Produkt" von Kongruenzen auf A bzw. B schreiben lässt. Eine hinreichende Bedingung ist die Distributivität des Verbands Con(AxB), daher ist insbesondere in der Varietät der Verbände jeder Kongruenzverband Con(AxB) natürlich isomorph zu Con(A)xCon(B).
Aus dem Satz von Fraser-Horn folgern wir:
- Jeder Homomorphismus h von einem endlichen Produkt von Verbänden in eine lineare Ordnung hängt von höchstens einer Koordinate ab, faktorisiert also über eine geeignete Projektion in einen der Faktoren.
- Jeder Isomorphismus zwischen zwei Produkten linearer Ordnungen ist trivial, entsteht also (nach Streichung 1-elementiger Faktoren) durch Umordnung der Faktoren.
- Für jeden Homomorphismus $h$ von einem beliebigen Produkt $\prod_{i\in I} V_i$ von Verbänden in eine lineare Ordnung gibt es einen Ultrafilter $U$ auf $I$, sodass $h$ über die natürliche Abbildung von $\prod_{i\in I} V_i$ in das Ultraprodukt $\prod_{i\in I} V_i/U$ faktorisiert.
Analoge Sätze lassen sich für andere kongruenzdistributive Varietäten beweisen.