Algebra Seminar talk
2016-11-11
Wolfgang Herfort
Topologisch quasi-Hamiltonsche Gruppen
Abstract:
Als quasi-Hamiltonsch bezeichnet man eine Gruppe $G$, in der
das Komplexprodukt von je zwei Untergruppen $X$ und $Y$,
also die Menge $XY=\{xy\mid x \in X, y \in Y\}$,
selbst eine Untergruppe ist.
Die Kennzeichnung solcher Gruppen ist K. Iwasawa 1941/1944 gelungen, und unabhängig von ihm wohl auch G. Zappa. Der Zusammenhang mit Gruppen mit Dedekindschem UG-Verband soll im Vortrag kurz angedeutet werden.
Eine "Topologisierung" der quasi-Hamilton-Eigenschaft ist ca 1977 von P. Plaumann vorgeschlagen worden.
Demnach ist die topologische Gruppe G topologisch quasi-Hamiltonsch, falls der topologische Abschluss eines Komplexprodukts $XY$ stets wieder Untergruppe ist. Plaumanns Dissertant F. Kümmich hat grundlegende Resultate gewonnen, etwa, dass solche Gruppen stets abelsch sind, sobald die Komponente der 1 nicht trivial ist.
2012 haben dann K.H. Hofmann und F. G. Russo sogenannte "near-abelian" Gruppen studiert, hauptsächlich kompakte p-Gruppen.
Davon ausgehend, gelang Hofmann, Russo und dem Vortragenden die vollständige Klassifikation aller lokalkompakten "near-abelian" Gruppen. Daraus wurde eine längere Reise ins Land der totalunzusammenhängenden lokalkompakten Gruppen: Sylowtheorie, Satz von Schur-Zassenhaus, etc. Proendliche Gruppentheorie hat sich als unabdingbares Hilfsmittel erwiesen.
Eine wichtige Folgerung ist die Beschreibung aller lokalkompakten im Sinne von Plaumann quasi-Hamiltonschen Gruppen.
Als vorläufigen Abschluss der Entwicklungen sehe ich die Lösung einer von Juri Mukhin 1985 im Kourovka Notebook gestellten Frage:
Beschreibung aller jener lokalkompakten Gruppen, welche die quasi-Hamilton Bedingung für alle abgeschlossenen Untergruppen $X$ und $Y$ erfüllen.