Algebra Seminar talk
2016-04-29
Reinhard Winkler
Riemann-integrierbare Fortsetzungen von Funktionen auf Gruppenkompaktifizierungen
Abstract:
Fragen aus der symbolischen Dynamik (aber nicht nur von dort) legen das Studium
komplexwertiger Funktionen f nahe, die auf einer (topologischen) Gruppe G definiert sind
und auf einer geeigneten Kompaktifizierung K von G eine (möglichst reguläre)
Fortsetzung F haben.
Wählt man als Regularitätsbedingung an F Stetigkeit, so erhält man als f genau die sogenannten fastperiodischen Funktionen auf G. Allerdings ist diese Bedingung häufig zu restriktiv. In unserem Kontext erweist sich Riemann-Integrierbarkeit von F als geeigneter. Definitionsgemäß soll dies bedeuten, dass die Funktion F beschränkt ist und die Menge der Unstetigkeitsstellen Haarsches Maß 0 hat. (Analog zum Lebesgueschen Maß auf [0,1] ist das Haarsche Maß das eindeutig bestimmte translationsinvariante Wahrscheinlichkeitsmaß auf K.)
Zu Ehren des polnischen Mathematikers Stanisław Hartman (1914-1992), in dessen Werk solche Funktionen eine wichtige Rolle spielen, nennen wir eine komplexwertige Funktion f auf der Gruppe G eine Hartman-Funktion, wenn es eine kompakte Gruppe K, einen stetigen Homomorphismus $\iota$: G $\to$ K (oft injektiv) mit in K dichtem Bild $\iota$(G) und eine Riemann-integrierbare Funktion F auf K gibt derart, dass f sich als Komposition von $\iota$ und F darstellen lässt.
Von besonderem Interesse ist eine derartige Darstellung einer Hartman-Funktion f dann, wenn sie in einem geeignet zu fassenden Sinn möglichst klein ist. Vordergründiges Ziel des Vortrags ist ein entsprechendes Resultat für den Fall, dass G lokalkompakt und abelsch ist. Weil aber der Weg das Ziel ist, werden im Vortrag auch relevante Aspekte der Pontrjaginschen Dualitätstheorie wie Bohrkompaktifizierung etc. rekapituliert.