Algebra Seminar talk
2011-04-08
Martin Goldstern
Abzählbar erzeugte Klone
Abstract:
Ein Klon ist eine Familie von endlichstelligen Operationen auf
einer festen Grundmenge X, die unter Verknüpfung abgeschlossen ist (z.B.
die Termfunktionen oder Polynomfunktionen einer Gruppe oder eines Rings). Ein Klon
C heißt
ist (d.h., jede Operation, die sich auf jeder endlichen Mengen durch eine Operation im Klon interpolieren lässt, ist bereits Element von C). Der Deutlichkeit halber heißen Klone auch gelegentlich "globale Klone". Der von einer Menge B (lokal/global) erzeugte Klon ist der kleinste (lokale/globale) Klon, der B enthät.
Es ist bekannt,
- dass es auf jeder endlichen Menge X eine zweistellige
Operation gibt, die den Klon aller Operationen erzeugt;
(für die 2-elementige Menge zum Beispiel der Sheffer-Stroke) -
dass es auf einer abzählbaren Menge X eine zweistellige Operation gibt, die den Klon aller Operationen lokal erzeugt. (In gewissem Sinn haben sogar "die meisten" Operationen diese Eigenschaft.)
Ich werde zeigen,
- dass auf jeder unendlichen Menge jeder abzählbar erzeugte globale Klon
in einem 1-erzeugten globalen Klon enthalten ist
(daraus folgt auch die analoge Aussage für lokale Klone); - dass es auf jeder überabzählbaren Menge X einen (lokalen) Klon C der
Größe aleph1 gibt, der in keinem 1-erzeugten (oder abzählbar erzeugten) lokalen Klon enthalten ist.
(Globale abzählbar erzeugte Klone sind selbst abzählbar, daher ist die analoge Aussage für globale Klone uninteressant.)
Ich weiß allerdings nicht, ob ein Analogon zum ersten Satz auch für relationale Klone gilt.