Algebra Seminar talk
2004-11-05
Martin Goldstern
Wohlquasiordnungen und die Anzahl der Gödellogiken
Abstract:
Gödellogiken sind nichtklassische Prädikatenlogiken, in denen der
Wahrheitswert einer Aussage in einer (vorgegebenen) Menge V liegt,
die eine abgeschlosse Untermenge des Einheitsintervalls [0,1] ist und
zumindest 0 und 1 enthält.
1 bedeutet "wahr", 0 bedeutet "falsch", und die Werte dazwischen lassen
sich als Wahrscheinlichkeit oder Sicherheit einer Aussage interpretieren.
Während manche klassisch gültige Formeln der Aussagen- oder Prädikatenlogik (wie zB "aus A folgt A") auch in jeder Gödellogik gültig sind (d.h., immer den Wert 1 erhalten), hängt die Gödel-Gültigkeit von anderen klassisch gültigen Aussagen (wie zB "A oder nicht A") von der zugrundeliegenden Menge V ab. Wir bezeichnen die bezüglich V immer gültigen Formeln mit G(V).
Zusammen mit Arnold Beckmann und Norbert Preining habe ich die Familie aller solchen G(V) untersucht; während es überabzählbar viele mögliche Mengen V gibt (sogar modulo dem hier natürlichen Isomorphiebegriff), konnten wir zeigen, dass die Familie aller G(V) nur abzählbar ist (aber doch recht komplexe Struktur hat). Das wichtigste Hilfsmittel ist eine Verallgemeinerung eines Satzes von Laver ("Fraisse Conjecture"), der besagt, dass es zu jeder Folge (Ln) von abzählbaren linearen Ordnungen Indizes n < k geben muss, sodass Ln nach Lk ordnungstreu eingebettet werden kann.
In unserem Beweis betrachten wir statt ordnungserhaltender Einbettungen nur solche Funktionen, die sowohl die Ordnung wie auch bereits existierende Suprema und Infima erhalten (d.h. stetig sind).
In meinem Vortrag am 5.11. werde ich vor allem Hintergrund und Motivation der Problemstellung besprechen, und den Zusammenhang zwischen der Fraisse-Vermutung und Gödellogiken skizzieren. Falls Interesse besteht, werde ich die wichtigsten Punkte der Beweise in einem späteren Vortrag präsentieren.