- Mittwoch 2.3.2022
- (Administrativa. UE-Voranmeldung.)
Die natürlichen Zahlen - 3 Zugänge: Peano-Struktur, Klasse von gleichmächtigen Mengen, von Neumann: n+1 = n u {n}.
Induktion (parametrisiert, simultan).
n-stellige Operationen. Isomorphismus.
Algebraische Strukturen. Beispiel: Gruppe, Ring, Ring mit 1, Körper. (Verband)
(Skriptum: 1.1.1-1.1.4)
- Montag 7.3.2022
-
Konstruktion von Z als "Differenzengruppe", Q als "Quotientenkörper".
(Nur einige Beweise vorgerechnet - bekannt aus Analysis 1),
Konstruktion von C. (R haben wir übersprungen)
Fundamentalsatz der Algebra.
Beweis: Stelle z mit kleinstem Betrag von p(z) suchen. Wenn dort nicht 0,
dann in die richtige Richtung gehen um Betrag zu verkleinern.
(Getanzte Variante folgt am Mittwoch.)
(Skriptum 1.2)
- Mittwoch 9.3.
- Algebren. Typ einer Algebra.
Beispiel: Halbgruppe, Monoid, Gruppe, Ring, Ring mit 1, Körper.
kommutativer Ring.
Gruppe: Typ (2,0,1).
(Redukt, Expansion)
Partielle Ordnung, strikte PO, lineare Ordnung. größtes El / maximales El, analog kleinstes, minimales.
Verband (ordnungstheoretisch), Halbverband. sup und inf von endlichen Mengen.
Vollständiger Verband. bedingt vollständig.
- Montag 14.3.
- AG, DG. Kürzbarkeit von binären Operationen.
nullteilerfreie Ringe.
Notation: infix, Klammern, von links nach rechts.
Teilbarkeit als Verbandsordnung.
Hommomorphismen. Auto,Iso, Endo. schwach/stark für relationale Strukturen.
VR als Algebra.
Unteralgebren. (Achtung Unterkörper.)
Erzeugte Unteralgebra. Zyklische Gruppen.
Klassifikationssätze (Beispiele).
- Mittwoch 16.3. (2.1.8, 2.1.10)
- mehrstellige Funktionen - Beispiele.
Fundamentalsatz, alternativbeweis.
Algebren. Terme. Stufe eines Terms. n-stellige Terme.
Präfix,Infix,Postfix. Baumdarstellung für Terme.
Termalgebra.
Term induziert Termfunktion. (rekursive Def)
Einsetzungshomomorphismus.
(Homomorphiesatz - kommt später)
Gesetze. Mod(Γ).
Klone
- Montag 21.3.2022
- 2.3:
Klarstellung zur UE.
Klon der Termfunktionen
Nullstellige Funktionen. Unteralgebren. Sub(A).
Durchschnitt/Vereinigung über beliebige (auch leere) Indexmengen.
Erzeugte Unteralgebra (von unten, von oben)
Produkt von Algebren. (Auswahlaxiom erwähnt)
Homomorphismen
(2-stelliger) Kern. Kongruenzrelation.
Homomorphiesatz
- Mittwoch 23.3.2022
- 2.3: Homomorphiesatz
Con(A)=Verband der Kongruenzrelationen.
Varietäten.
Satz von Birkhoff (Beweis später).
sehr große Algebren. endlich erzeugte Algebren.
h(U), h^(-1)(U). 1.isosatz
2. isosatz
- Montag 28.3.
-
2.Iso-Satz (mit Homomorphismen)
Produkte. Potenz A^I einer Algebra. Schwaches Produkt.
Redukt/Expansion.
x^0=1. a^n in Halbgruppen, Gruppen.
Rechenregeln a^(m+n), (ab)^n, etc
Freies Monoid, freie Halbgruppe. X^+, X^*
Eigenschaft einer freien Algebra
Satz von Cayley
- Mittwoch 30.3.
- (2.3)
aufsteigende Vereinigungen (entlang den nat.Zahlen; entlang von gerichteten Mengen)
Gesetze. bleiben in aufsteigende Vereinigungen erhalten.
natürliche Zahlen.
Schreibweise |=.
Fundamentalsatz der Arithmetik (produkt von Primzahlen). Beweis später.
Umformulierung: Isomorph zu einer schwachen Potenz von (N^x,+)
Division mit Rest
Rechts-, Linksnebenklassen einer Untergruppe. Beispiel S_3.
Satz v Lagrange
Normalteiler.
- Montag 4.4.2022
- (3.2)
Gruppenhomomorphismus - nur * überprüfen.
Normalteiler <=> 1-stelliger Kern von Homomorphismus.
Verband aller Normalteiler ... Verband Con(G) aller Kongruenzrelationen
Komplexprodukt von Untermengen einer Gruppe
1.Iso-Satz f Gruppen
Inneres direktes Produkt.
Banach-Lemberg-Lviv (ist nicht Stoff)
- Mittwoch 6.4.2022
- inneres direktes Produkt
zyklische Gruppe. Erzeugnis <g> = { g^n: n in Z }
Untergruppen von Z: alle zyklisch, mZ .
Sub(Z) isomorph zum Teilerverband.
"a kongruent b modulo m". Restklassen in Z/mZ.
Satz: zyklische Gruppen immer iso zu Z/mZ
Ordnung von Gruppenelementen. g^n = 1 <=> ord(g)|n
ord(g^k) ausrechnen.
ord(gh) in abelschen Gruppen.
Eulersche φ-Funktion.
phi(n*k)=phi(n)*phi(k) wenn n,k teilerfremd.
- Montag 25.4.2022
-
einfache Gruppe: nur triviale Normalteiler
(einfache abelsche Gruppe: nur Z_p)
(Bsp: Z_(p^2) und (Z_p)^2 nicht isomorph)
Untergruppen von Z_n: iso zum teilerverband von n.
p-Gruppe. p-Anteil einer Gruppe
Zerlegung als direktes Produkt von p-Anteilen. (3.4.4.5)
ggT als Linearkombination (in Z)
- Mittwoch 27.4.2022
- Endliche p-Gruppe: Abspaltung einer zyklischen Gruppe als direkter Faktor.
Zerlegung von p-Gruppen in zyklische Faktoren.
- Montag 2.5.2022
-
(Achtung, zwei Viedos, und außerdem an der falschen Stelle)
Symmetrische Gruppe S_M: (3.2.5). Einbettung von G nach S_G mit Linkstranslationen.
konjugieren. Innere Automorphismen einer Gruppe. Zentrum.
Kommutatorgruppe.
Zyklenschreibweise für Elemente von S_M.
Ideale in Ringen.
- Mittwoch 4.5.2022
- Ideal I in R. R/I ist Ring. (Multiplikation wohldef?)
Id(R) = vollst Verband. Summe von Idealen.
erzeugtes Ideal
(R meist kommutativ)
K Körper - Id(K) trivial.
Körperhomomorphismen sind injektiv.
Wenn f:R1 -> R2 surjektiver Hom, dann ist Con(R2) isomorph zum Interval [ker f, R1xRx] in Con(R1). Analog für Ideale.
maximales Ideal.
I maximal genau dann, wenn R/I Körper.
a|b genau dann, wenn (a) Obermenge von (b).
Quotientenkörper. Sind eindeutig.
Konstruktion eines Quot.körpers. (Operationen wohldefiniert?)
K[x], K(x)
- Montag 9.5.
-
Nachtrag: Eindeutigkeit der Faktoren in der Produktdarstellung einer endlichen abelschen Gruppe.
I Primideal, R/I nullteilerfrei.
R[x], R[[x]].
Einheiten von R[[x]]
R(x) = Quot.körper von R[x]
R[[[x]]]
Chin.Restsatz
- Mittwoch 11.5.
-
- Montag 16.5.
-
- Mittwoch 18.5.
-
- Montag 23.5.
-
- Mittwoch 25.5.
-
- Montag 30.5.2022
- Hauptidealringe (HIR) sind faktoriell.
Euklidische Ringe. Beispiele: Z, K[x]
Euklidische Ringe sind HIR.
Berechnung eines ggT in faktoriellen Ringen, in HIR, in Eukl Ringen.
R[x] faktoriell wenn R faktoriell - Motivation, Beispiel Z[x]
primitive Polynome.
- Juni
- wird noch nachgetragen