FG1 Seminar talk

2016-11-25
Georg Hofstätter
Die Verbindung von Homotopie und Homologie: Der Satz von Hurewicz

Abstract:
Die algebraische Topologie beschäftigt sich mit algebraischen Strukturen, die topologischen Räumen zugeordnet werden können und zum besseren Verständnis der topologischen Eigenschaften dieser Räume beitragen.

Die bekanntesten Beispiele solcher Strukturen sind die Folgen der Homotopie- und der (Singulären) Homologie-Gruppen. Obwohl sich diese beiden Ansätze stark unterscheiden, zeigt der Satz von Hurewicz, dass zwischen ihnen eine enge Beziehung besteht. Tatsächlich ist die Abelisierung der ersten Homotopie-Gruppe, der sogenannten Fundamentalgruppe, als Gruppe isomorph zur ersten Homologie-Gruppe. Bis zur ersten nicht-trivialen Homotopie-Gruppe sind die höheren Homotopie-Gruppen sogar isomorph zu den Homologie-Gruppen.

In meinem Vortrag werde ich die erste Homotopie-Gruppe (Fundamentalgruppe) und die erste Homologie-Gruppe einführen und mit Beispielen und Anwendungen diese Definitionen motivieren. Anschließend werde ich den Satz von Hurewicz für diese Gruppen beweisen und ein Resultat für höhere Homotopie-Gruppen zitieren.