FG1 Seminar talk

2011-04-08
Martin Goldstern
Abzählbar erzeugte Klone

Abstract:
Ein Klon ist eine Familie von endlichstelligen Operationen auf einer festen Grundmenge X, die unter Verknüpfung abgeschlossen ist (z.B. die Termfunktionen oder Polynomfunktionen einer Gruppe oder eines Rings). Ein Klon C heißt

lokal, wenn er in der natürlichen Topologie abgeschlossen

ist (d.h., jede Operation, die sich auf jeder endlichen Mengen durch eine Operation im Klon interpolieren lässt, ist bereits Element von C). Der Deutlichkeit halber heißen Klone auch gelegentlich "globale Klone". Der von einer Menge B (lokal/global) erzeugte Klon ist der kleinste (lokale/globale) Klon, der B enthät.

Es ist bekannt,

Ich werde zeigen,

  1. dass auf jeder unendlichen Menge jeder abzählbar erzeugte globale Klon

    in einem 1-erzeugten globalen Klon enthalten ist
    (daraus folgt auch die analoge Aussage für lokale Klone);

  2. dass es auf jeder überabzählbaren Menge X einen (lokalen) Klon C der

    Größe aleph1 gibt, der in keinem 1-erzeugten (oder abzählbar erzeugten) lokalen Klon enthalten ist.
    (Globale abzählbar erzeugte Klone sind selbst abzählbar, daher ist die analoge Aussage für globale Klone uninteressant.)

Ich weiß allerdings nicht, ob ein Analogon zum ersten Satz auch für relationale Klone gilt.