FG1 Seminar talk

2007-03-23
Michael Pinsker
Kardinalitäten von Intervallen des Klonverbandes

Abstract:
Wir betrachten den Klonverband L über einer abzählbar unendlichen Grundmenge. In diesem Fall ist |L|=2c, wobei c die Kardinalität des Kontinuums bezeichnet. Außerdem ist die Zahl der kompakten Elemente von L (das sind die endlich erzeugten Klone) gleich c. Es stellt sich die Frage, welche Kardinalitäten Intervalle von L haben können. Dabei ist zu bedenken, daß Intervalle von L algebraische Verbände mit höchstens c kompakten Elementen sind.

Vor zwei Jahren konnte ich zeigen, daß jeder algebraische und dualalgebraische Verband mit höchstens c kompakten Elementen isomorph zu einem Intervall von L ist. Daraus folgt, daß alle Kardinalitäten k und 2k, wobei k≤c ist, als Kardinalitäten von Intervallen auftreten.

Es blieb die Frage, ob es Kardinalitäten k zwischen c und 2c gibt, die nicht Kardinalitäten von Intervallen sind.

Uri Abraham und Martin Goldstern bemerkten wenig später, daß es tatsächlich konsistenterweise solche Kardinalitäten geben kann, allerdings gibt es bei dieser Konstruktion überhaupt keine algebraischen Verbände der Größe k mit höchstens c kompakten Elementen. Die "richtige" Frage lautet also:

Konkreter fragen wir: Gegeben einen solchen Verband V, existiert ein algebraisch und dualalgebraischer Verband V' derselben Größe und mit gleich vielen kompakten Elementen (denn letztere sind ja Intervalle von L)?